Junio 2017. Volumen 13. Número 2

Evaluación de la precisión de las pruebas diagnósticas (1). Variables discretas

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Autores: Ochoa Sangrador C, Molina Arias M.

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Introducción

En documentos previos de esta serie hemos abordado cómo evaluar la validez de una prueba diagnóstica respecto a un patrón de referencia. Si una prueba mide realmente lo que queremos medir, la consideramos lo suficientemente válida como para confiar en sus resultados, porque hemos comprobado que concuerdan con los de pruebas más agresivas, caras o no disponibles, o bien con la confirmación clínica del diagnóstico, tras comprobar la evolución del paciente1.

Sin embargo, la confianza que asignamos a una prueba diagnóstica no depende solo de su validez, también depende de su precisión o fiabilidad, esto es, de la estabilidad que muestran sus mediciones cuando se repiten en condiciones similares. La fiabilidad es un requisito previo al de validez, ya que es necesario saber que una prueba es capaz de medir “algo”, antes de plantearse contrastar su validez. Si mediciones repetidas de una característica con un mismo instrumento son inconsistentes, la información resultante no va a poder aportar nada al diagnóstico. No obstante, una prueba muy fiable en sus mediciones, pero en la que estas no sean válidas, tampoco tiene ninguna utilidad.

La fiabilidad o precisión de una prueba es su capacidad para producir los mismos resultados cada vez que se aplica en similares condiciones. La fiabilidad implica falta de variabilidad. Sin embargo, las mediciones realizadas por las pruebas diagnósticas están sujetas a múltiples fuentes de variabilidad. Esta variabilidad puede encontrarse en el propio sujeto objeto de la medición (variabilidad biológica), en el instrumento de medida propiamente dicho o en el observador que la ejecuta o interpreta. A la hora de analizar y controlar la fiabilidad de las pruebas diagnósticas tiene especial interés estudiar la variabilidad encontrada entre las mediciones realizadas por dos o más observadores o instrumentos y la variabilidad encontrada entre mediciones repetidas realizadas por el mismo observador o instrumento.

Existen diversos métodos para la valoración de la fiabilidad de las mediciones clínicas. Los más adecuados en función del tipo de dato a medir son los siguientes: 1) índice kappa, para datos discretos nominales; 2) índice kappa ponderado, para resultados discretos ordinales, y 3) desviación estándar intrasujetos, coeficiente de correlación intraclase y método de Bland-Altman para datos continuos. En este primer documento abordaremos los métodos para variables discretas.

Variables discretas nominales. Índice kappa

El índice kappa puede aplicarse a pruebas cuyos resultados solo tengan dos categorías posibles o más de dos sin un orden jerárquico entre ellas. En la tabla 1 se presentan los resultados de un estudio en el que dos médicos evaluaron, de forma ciega, las radiografías de tórax de 100 niños con sospecha de neumonía (datos figurados). La tabla de contingencia refleja los recuentos de casos en que hay acuerdo (casillas a y d) y desacuerdo (casillas b y c).

Tabla 1. Evaluación por parte de dos médicos de las radiografías de tórax de 100 niño con sospecha de neumonía (datos figurados). Las casillas reflejan el recuento de casos en que hay acuerdo y desacuerdo. Mostrar/ocultar

La forma más sencilla de expresar la concordancia entre las dos evaluaciones es mediante el porcentaje o proporción de acuerdo o concordancia simple (Po), que corresponde a la proporción de observaciones concordantes:

$$P_o = \frac{a + d}{Total} = \frac{4 + 80}{100} = 0,84 \ (84\%)$$

Una concordancia del 84% podría ser interpretada como buena; sin embargo, es preciso tener en cuenta que parte del acuerdo encontrado puede ser debido al azar (si el médico sabe que solo uno de cada diez pacientes con sospecha de neumonía la tiene, ajustará consciente o inconscientemente sus diagnósticos a esa frecuencia). Las observaciones esperadas por azar en cada casilla de la tabla de contingencia se pueden calcular a partir del producto de los marginales de la fila y columna correspondientes, dividido por el total. En la tabla 2 se presentan los cálculos para cada una de las casillas del ejemplo de la tabla 1. Considerando estos recuentos estimados, la proporción de acuerdo esperada por azar sería:

$$P_e = \frac{a' + d'}{N} = \frac{\frac{10 × 14}{100} + \frac{90 × 86}{100}}{100} = \frac{14,4 + 77,4}{100}=0,79 \ (0,79\%)$$ Tabla 2. Estimación de las observaciones esperadas por azar en la tabla de contingencia del ejemplo de la tabla 1. Mostrar/ocultar

 

Podemos constatar que existe acuerdo por azar en una elevada proporción de observaciones (79%). Si excluimos del análisis dichas observaciones, solo quedarán cinco observaciones concordantes (84-79=5) en un total de 21 observaciones (100-79=21), lo que supone un grado de acuerdo no debido al azar del 24% (5/21=0,24). Si formulamos este cálculo como probabilidades en vez de recuentos obtendremos el índice kappa.

El índice kappa nos ofrece una estimación del grado de acuerdo no debido al azar a partir de la proporción de acuerdo observado (Po) y la proporción de acuerdo esperado (Pe):

$$Κ = \frac{P_o + P_e}{1 - P_e} $$

Aplicando esta fórmula en nuestro ejemplo (tabla 1) obtenemos:

$$Κ = \frac{P_o + P_e}{1 - P_e} = \frac{0,84 - 0,75}{1 - 0,75} = 0.36 $$

lo que supone un grado de concordancia no debido al azar del 36%, considerablemente más bajo que la proporción de acuerdo observado.

El índice kappa puede adoptar valores entre -1 y 1. Es 1 si existe un acuerdo total, 0 si el acuerdo observado es igual al esperado y menor de 0 si el acuerdo observado es inferior al esperado por azar. La interpretación más aceptada de los rangos de valores situados entre 0 y 1 se expone en la tabla 32,3. Al igual que otros estimadores poblacionales, los índices kappa se deben calcular con sus intervalos de confianza3.

Tabla 3. Interpretación de los valores del índice kappa. Mostrar/ocultar

El índice kappa también puede ser aplicado a pruebas cuyos resultados tengan más de dos categorías nominales, utilizando la misma metodología para el cálculo del acuerdo esperado por azar.

Variables discretas ordinales. Índice kappa ponderado

El índice kappa ponderado debe emplearse cuando el resultado de la prueba analizada puede adoptar más de dos categorías, entre las que existe cierto orden jerárquico (resultados discretos ordinales). En esta situación, pueden existir distintos grados de acuerdo o desacuerdo entre las evaluaciones repetidas. Veamos un ejemplo. En la tabla 4 se presentan los resultados de dos evaluaciones sucesivas de un cuestionario (test-retest), diseñado para detectar el consumo problemático de alcohol en adolescentes (datos figurados). Los resultados se expresan en tres categorías: riesgo bajo, medio y alto. Es evidente que no puede considerarse igual una discrepancia entre riesgo bajo y medio que entre bajo y alto.

Tabla 4. Resultados de dos evaluaciones sucesivas, separadas por un corto periodo de tiempo (test-retest), de un cuestionario diseñado para detectar el consumo problemático de alcohol, en 100 adolescentes (datos figurados). Los resultados se expresan en tres categorías: riesgo bajo, medio y alto. Las casillas reflejan el recuento de casos en que hay acuerdo y desacuerdo. Mostrar/ocultar

El índice kappa ponderado nos permite estimar el grado de acuerdo, considerando de forma diferente esas discrepancias. Para ello, debemos asignar diferentes pesos a cada nivel de concordancia. Habitualmente se asignará un peso 1 al acuerdo total (100% de acuerdo) y un peso 0 al desacuerdo extremo. A los desacuerdos intermedios se les asignarán pesos intermedios, en función del significado que tengan las distintas discordancias en el atributo estudiado. Así, si en nuestro ejemplo hemos optado por asignar un peso de 0,25 a las discordancias riesgo alto-medio, ello significa que cuando una de las evaluaciones clasifica el riesgo como alto y la otra como medio, el grado de acuerdo entre ambas es solo del 25%.

El índice kappa ponderado se calcula de forma similar al índice kappa, con la diferencia de que, en las fórmulas de las proporciones de acuerdo observado y esperado, las frecuencias de las distintas casillas se deben multiplicar por sus pesos respectivos. En la tabla 5 podemos ver los pesos asignados en el ejemplo de la tabla 4 y los cálculos de las observaciones esperadas por azar en cada casilla. Las proporciones de acuerdo observado (Po), esperado (Pe) y el índice kappa ponderado (kw) para este ejemplo serán las siguientes (Po y Pe calculados respectivamente con los valores de las tablas 4 y 5):

Tabla 5. Pesos asignados a los distintos grados de acuerdo entre evaluaciones (en negrita en la esquina superior derecha de cada casilla) y recuentos esperados por azar en cada una de las casillas de la tabla 4 (ecuaciones de cada casilla). Mostrar/ocultar

$$P_o = \frac{1 × (35 + 10 + 11) + 0,25 × (8 + 9 + 12 + 5)}{100} = 0,64 $$ $$P_e = \frac{1 × (24,9 + 7,1 + 5,2) + 0,25 × (16,1 + 4,8 + 11 + 7,7)}{100} = 0,47 $$ $$Κ_w = \frac{P_o + P_e}{1 - P_e} = \frac{0,64 - 0,47}{1 - 0,47} = 0,32$$

Es preciso señalar que las estimaciones de concordancia pueden variar de forma importante en función de los pesos elegidos. Una forma de estandarizar estos índices cuando no tenemos una hipótesis clara del grado de discordancia es utilizar un sistema de ponderación proporcional a la distancia entre categorías: los pesos bicuadrados. A cada casilla se le asigna un peso (wi,j) igual a:

$$W_{i,j} = 1 - \biggl(\frac{i - j}{k - 1}\biggr)^2 ,$$

donde i es el número de columna en la tabla de contingencia, j el número de fila y k el número total de categorías (ver tabla 6). Los pesos bicuadrados, calculados con esta fórmula, de los acuerdos intermedios de nuestro ejemplo (alto-medio y medio-bajo) serían de 0,75.

Tabla 6. Pesos bicuadrados (en negrita) según el grado de concordancia. Mostrar/ocultar

Es interesante señalar que si se emplean estos pesos el valor del índice kappa ponderado se aproxima al del coeficiente de correlación intraclase, que veremos en un próximo documento de esta serie, cuando revisemos las medidas de concordancia para variables continuas.

Introduction

In previous articles in this series, we have addressed how to assess the validity of a diagnostic test relative to a reference standard. If a test measures what we actually wish to measure, we consider it sufficiently valid to trust its results, because we have verified that they agree with the results of more invasive, expensive or unavailable tests, or with the clinical confirmation of the diagnosis based on patient outcomes.1

However, the confidence that we attribute to a diagnostic test does not depend solely on its validity, but also on its accuracy or reliability, that is, the stability of its measurements when repeated under similar conditions. Reliability is a prerequisite to validity, for we need to know that a test is capable of measuring “something” before we consider assessing its validity. If repeated measurements of a given characteristic using the same instrument are inconsistent, the resulting information will not contribute anything of value to diagnosis. On the other hand, a test whose measurements are highly reliable but not valid is just as useless.

The reliability or accuracy of a test is its ability to produce the same results each time it is applied under similar conditions. Reliability implies a lack of variability. However, there are many sources of variability in the measurements made by diagnostic tests. Variability may arise from the very subject that is being measured (biological variability), the measuring instrument itself, or the observer that makes or interprets the measurement. One aspect that is of particular interest when it comes to analysing and controlling the reliability of diagnostic tests is the variability found in the measurements made by two or more observers or instruments, and the variability found in repeated measurements made by the same observer or with the same instrument.

There are various methods for assessing reliability in clinical measurements. The most appropriate methods for the different type of data to be measured are the following: 1) kappa statistic, for discrete nominal data; 2) weighted kappa statistic, for discrete ordinal data, and 3) intra-rater standard deviation, intraclass correlation coefficient and Bland-Altman analysis for continuous data. In this opening article, we will discuss the methods used for discrete variables.

Discrete nominal variables. Kappa statistic

The kappa statistic can be applied to tests whose results are limited to two possible categories or more than two categories with no hierarchical order between them. Table 1 presents the results of a blinded study in which two physicians interpreted the chest radiographs of 100 children with suspected pneumonia (made-up data). The contingency table displays the counts of the cases in which the two raters agreed (cells a and d) or disagreed (cells b and c).

Table 1. Evaluation by two physicians of the chest radiographs of 100 children with suspected pneumonia (made-up data). The cells show the counts of cases in which there is agreement and disagreement. Show/hide

The simplest way to express agreement between the two assessments is to measure the percentage or proportion of agreement, or simple agreement (Po), which corresponds to the proportion of concordant observations:

$$P_o = \frac{a + d}{Total} = \frac{4 + 80}{100} = 0,84 \ (84\%)$$

An agreement of more than 84% could be interpreted as good; however, we must take into account that part of the calculated agreement may be due to chance (if the physicians are aware that only one out of ten patients with suspected pneumonia actually has the disease, they may consciously or unconsciously adjust their diagnoses to this frequency). The counts expected by chance alone for each cell in the contingency table can be calculated by multiplying the marginal counts for the corresponding row and column divided by the total number of observations. Table 2 shows the calculations for each cell of the example in Table 1. Applying these estimated counts, the proportion of agreement expected by chance alone would be:

$$P_e = \frac{a' + d'}{N} = \frac{\frac{10 × 14}{100} + \frac{90 × 86}{100}}{100} = \frac{14,4 + 77,4}{100}=0,79 \ (0,79\%)$$

Table 2. Estimation of the observations expected based on chance alone in the contingency table of the example (Table 1). Show/hide

 

We can see that agreement in a high proportion of observations would result from chance alone (79%). If we exclude these observations from the analysis, only 5 concordant observations are left (84 – 79 = 5) out of the total of 21 (100 – 79 = 21), which would amount to a proportion of agreement not due to chance of 24% (5/21 = 0.24). If we were to express this calculation in terms of probabilities, instead of counts we would get the kappa statistic.

The kappa statistic is an estimation of the degree of agreement that is not due to chance based on the observed proportion of agreement (Po) and the expected proportion of agreement (Pe):

$$Κ = \frac{P_o + P_e}{1 - P_e} $$

Applying this formula to our example (Table 1), we get:

$$Κ = \frac{P_o + P_e}{1 - P_e} = \frac{0,84 - 0,75}{1 - 0,75} = 0.36 $$

This amounts to a degree of agreement not due to chance of 36%, which is substantially lower than the observed proportion of agreement.

The kappa statistic can take on values between -1 and 1, where 1 represents total agreement, 0 a degree of agreement equal to the one expected, and less than 0 a degree of agreement that is inferior to the one expected due to chance alone. Table 3 presents the most widely accepted interpretation of value ranges between 0 and 1.2,3 As is the case of other population estimates, kappa statistics must be calculated with their corresponding confidence intervals.3

Table 3. Interpretation of kappa coefficient values. Show/hide

The kappa statistic can also be used for tests with more than two nominal categories, using the same method to calculate the expected agreement due to chance.

Discrete ordinal data. Weighted kappa statistic

The weighted kappa must be used when the result of the test under analysis can take on more than two categorical values and there is some type of hierarchical order between them (discrete ordinal results). In this situation, there may be different degrees of agreement or disagreement between repeated evaluations. Let us consider an example. Table 4 presents the results of two successive evaluations (test-retest) of a questionnaire designed to detect risky alcohol use in adolescents (made-up data). The results are expressed in three categories: low, intermediate, and high risk. It is obvious that the degree of disagreement between low and intermediate risk is not the same as the degree of disagreement between low and high risk.

Table 4. Results of two successive evaluations separated by a short period of time (test-retest) of a questionnaire designed to detect risky alcohol use in 100 adolescents (made-up data). The results are expressed in three categories: low risk, intermediate risk and high risk. The cells show the count of cases in which there is agreement or disagreement. Show/hide

The weighted kappa statistic allows us to estimate the degree of agreement with a different approach to these discrepancies. It is calculated by assigning a weight of 1 to complete agreement (100% agreement) and a weight of 0 to complete disagreement. Intermediate degrees of disagreement are assigned intermediate weights based on the significance of the different disagreements in the attribute under study. Thus, in our example, if we chose to assign a weight of 0.25 to the disagreement for high-intermediate risk, the result would be that if one rater classified the risk as high and another as intermediate, the degree of agreement between the two classifications would be of only 25%.

The calculation of the weighted kappa statistic is similar to that of the kappa statistic, with the sole difference that in the equations the observed and expected agreement proportions, the frequencies in each cell are multiplied by their respective weights. Table 5 shows the weights assigned in the example presented in Table 4 and the calculations of the values expected by chance alone in each cell.  The observed proportion of agreement (Po), expected proportion (Pe) and weighted kappa coefficient (kw) for this example (with Po and Pe calculated using the values in tables 4 and 5, respectively) are:

Table 5. Weights assigned to the different degrees of agreement between evaluations (boldfaced in the upper right corner of each cell) and counts expected by chance in each of the cells in Table 4 (equations in each cell). Show/hide

$$P_o = \frac{1 × (35 + 10 + 11) + 0,25 × (8 + 9 + 12 + 5)}{100} = 0,64 $$ $$P_e = \frac{1 × (24,9 + 7,1 + 5,2) + 0,25 × (16,1 + 4,8 + 11 + 7,7)}{100} = 0,47 $$ $$Κ_w = \frac{P_o + P_e}{1 - P_e} = \frac{0,64 - 0,47}{1 - 0,47} = 0,32$$

We ought to note that estimates of agreement can change significantly depending on the assigned weights. One possible way to standardise these statistics when we do not have a clear hypothesis on the degree of disagreement is to use a weighting scheme proportional to the distance between categories: the quadratic weight. Each cell is assigned a weight (wi,j) equal to:

$$W_{i,j} = 1 - \biggl(\frac{i - j}{k - 1}\biggr)^2 ,$$

where i is the column number in the contingency table, j the row number, and k the total number of categories (see Table 6). In our example, the quadratic weight calculated with this formula for the midrange agreement values (high-intermediate and intermediate-low) would be 0.75.

Table 6. Quadratic weights by degree of agreement. Show/hide

We ought to note that if we use these weights, the value of the weighted kappa statistic approximates the intraclass correlation coefficient, which we will discuss in an upcoming article in this series in which we will review the measures of agreement for continuous variables.

References

 

Cómo citar este artículo

Ochoa Sangrador C, Molina Arias M. Evaluación de la precisión de las pruebas diagnósticas (1). Variables discretas. Evid Pediatr. 2017;13:28.

Bibliografía